terça-feira, 22 de maio de 2012

Há um novo manual de Matemática para o 12.º ano e é gratuito


Ora aqui está uma boa ideia!
Finalmente alguém põe em prática uma coisa óbvia: numa era digital, como é que ainda estamos subordinados ao negócio das editoras?
Há muito que o Ministério da Educação deveria ter patrocinado uma iniciativa destas.
Mesmo sem conhecer o conteúdo, louvo a iniciativa da Universidade de Coimbra. Está a zelar por aquilo que a Constituição diz: o ensino deve ser tendencialmente gratuito.
Espero que a iniciativa se alargue a todos os anos de escolaridade e a todas as disciplinas.
É uma espécie de "genérico" do manual.
É tempo de promover o que eles tanto apregoam, a livre concorrência (em substituição aos monopólios).


quinta-feira, 17 de maio de 2012

Números triangulares e a soma de Gauss


A propósito do famoso item 4.
Desculpem estar em Inglês.

"The triangular number T_n is a figurate number that can be represented in the form of a triangular grid of points where the first row contains a single element and each subsequent row contains one more element than the previous one. This is illustrated above for T_1=1T_2=3, .... The triangular numbers are therefore 1, 1+21+2+31+2+3+4, ..., so for n=1, 2, ..., the first few are 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..."
Weisstein, Eric W. "Triangular Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

"The next example is one that is associated with Carl Friedrich Gauss. As one version of the story goes, when Gauss was 10 years old his teacher, Herr Büttner, asked the students to sum the integers from 1 to 100. Gauss did it almost instantly. It is believed that he did it by the following method.
Write the sum horizontally forwards and backwards as:
  1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1
Now add vertically. When you do this, you will get 101 one hundred times; in other words, you get (101)(100). This is twice the sum that you needed, so the answer must be (101)(100)/2. There is nothing special about the integer 100. If you try this with a general positive integer n, you will see that 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 for every positive integer n. What a nice formula! Is something like this true for the sums of squares of the first n integers? Indeed it is. We'll give it a rigorous proof using mathematical induction."
Daepp, Ulrich, and Pamela Gorkin. 2003. Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics. New York: Springer Science+Business Media. (p. 209.)
In Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote, http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html

Outros apontadores:

Lista dos primeiros números triangulares (http://oeis.org/A000217The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Soma de três números triangulares,
Geometria: representação de números através de figuras geométricas,

segunda-feira, 14 de maio de 2012

Teste intermédio de Matemática do 9º Ano: tempo de reacção

Diz o povo que "mais vale tarde do que nunca".
Quatro dias depois, o silêncio das associações de professores foi quebrado: ver notícia do Público.
Lendo as entrelinhas da reacção, parece que alguém se esqueceu de duas coisas: do país real e de que dois programas estavam a ser leccionados no 9º Ano de Matemática.

Diz também o povo que "voz de burro não chega ao céu".
Bem, às associações já chegou.
Será que chega ao GAVE?
E se chegar, irá a tempo do Exame Nacional?

domingo, 13 de maio de 2012

Ainda o Teste Intermédio de Matemática do 9º Ano (2012)


Face aos muitos comentários que o post anterior mereceu, penso ser minha obrigação voltar a escrever sobre o assunto. Permitam-me algumas considerações aos comentários.

A primeira é para agradecer a todos aqueles que, cívica e educadamente, partilharam aqui a sua opinião. Obrigado pelo exercício de cidadania!

A segunda, a meu ver a mais importante, é para focalizar a discussão no motivo que me levou a escrever essas linhas.
Mais do que chamar a atenção para a dificuldade do teste (ou para a sua facilidade, no entender de alguns), o que pretendi foi manifestar o meu incómodo e descontentamento por aquilo que considero ser a utilização da avaliação sumativa, em particular a externa, como instrumento ao serviço de outros interesses que não os da educação dos Portugueses.
Em 31 de Agosto de 2011, quando estava o Sr. Ministro ainda a ambientar-se ao Ministério que antes prometera implodir, escrevi neste blog sobre o assunto (“O Problema da Avaliação”).
Disse na altura: “apenas se espera que o Ministro leve à prática o que publicamente tem dito. É preciso regular a avaliação externa. Regular, no sentido de acabar com as disparidades que apresenta de ano para ano ou mesmo de fase para fase. Regular, para a tornar efectivamente congruente com os currículos sobre os quais incide. Regular, de modo a que haja transparência quer sobre os conhecimentos, as técnicas, os métodos e as competências que se querem avaliar em situação de exame, quer sobre os diferentes níveis de dificuldade que a cada um destes itens está associado. Regular, enfim, para que a avaliação externa esteja ao serviço da Educação e não da propaganda dos Governos”.
O que critiquei no teste intermédio foi a alteração abrupta, a falta de congruência com o que se ensinou aos alunos e com aquilo que era esperado eles saberem, a falta de transparência sobre a tipologia das questões, a falta de equilíbrio no doseamento da dificuldade. O que não me agrada é, como alguém comentou, que o exame seja uma lotaria!
É claro que, felizmente, existirá neste país uma percentagem (prevejo pequena) de alunos que conseguirão uma nota excelente neste teste intermédio. Ainda bem que assim é! No entanto, acho que o mérito dessa nota terá mais a ver com as suas próprias apetências para a Matemática do que com a preparação que lhes foi dada.
Mas posso estar enganado!
Se calhar, alguns colegas meus prepararam os seus alunos para um teste destes. Se assim foi, para além de lhes reconhecer sabedoria e competência, só peço uma coisa: por favor informem quais foram os manuais ou os documentos (do GAVE, da DGIDC ou doutro sítio qualquer) que usaram e que continham exercícios com tipologia semelhante a alguns dos que saíram no teste intermédio. Mas se tal preparação não foi baseada em livros ou documentos deste tipo, por favor partilhem connosco a vossa sabedoria.
Para finalizar esta minha segunda consideração e para que não restem dúvidas: não critico a exigência, critico a incongruência com a realidade, a falta de equilíbrio e a mudança abrupta.

A terceira e última consideração refere-se especificamente a alguns comentários que foram feitos.
a) Vou escrever uma coisa óbvia: é claro que resolvi a prova! E resolvi-a antes de o GAVE publicar os critérios de resolução. Pena é que quem também a resolveu e pelos vistos a achou fácil não tivesse logo apontado a gralha que o GAVE só corrigiu no dia seguinte. Sejamos justos, parece ser apenas uma gralha. Mas serão de admitir gralhas em processos deste tipo?
b)      Apesar de também a ter resolvido, não comento a prova de aferição do 4º Ano pois considero não estar suficientemente a par do programa do 1º Ciclo para o fazer. Apenas refiro algo que tem a ver com um comentário de alguém da APM que teria dito que a prova tem “questões muitíssimo interessantes”: o teste intermédio de Matemática do 9º ano também tem itens que podem ser assim classificados. O problema é se o ser “muitíssimo interessantes” (supostamente do ponto de vista conceptual ou estrutural) é a prioridade para este tipo de questões.
c)       Tenho para mim que o que é oficial é o que consta dos programas das disciplinas. Muitas vezes os manuais ultrapassam aquilo que nesses programas está exarado. No entanto, qual é o professor que está a leccionar o 9º Ano que não aborda, por exemplo, a resolução gráfica de sistemas? Com toda a certeza que abordam este tema. Agora o que acontece é que os testes têm de ser coerentes com os programas oficiais, não com o que consta dos manuais. Ora, foram sujeitos a este teste intermédio alunos a quem podem estar a ser leccionados dois programas diferentes: o programa antigo e o que foi homologado em 2007 e que algumas escolas resolveram adoptar logo como escolas piloto. Estas últimas, que julgo não serem a maioria, estão a leccionar o programa novo. O que eu pergunto é: no programa antigo onde é que está exarado o objectivo específico “Interpretar graficamente as soluções de um sistema de equações” que consta do programa novo?
d)      Relativamente ao item 4 do teste intermédio, a resolução do GAVE parece-me ser a correcta e está coerente com o que é questionado. Em termos científicos não me parece que haja nada a apontar, embora na questão 1.3. pense que teria sido mais acertado e menos susceptível de outra interpretação para o problema a substituição no enunciado de “Vão ser escolhidos” por “Foram escolhidos”.

quinta-feira, 10 de maio de 2012

Teste Intermédio de Matemática, 9º Ano: do 8 ao 80

Já por diversas vezes manifestei neste blog a minha revolta quanto ao grau de facilitismo que os ensinos básico e secundário atingiram nos últimos anos, particularmente, naqueles em que fomos governados pelo Sr. Sócrates.
Critiquei, em especial, o que se passou com a avaliação na Matemática, com exames e testes intermédios ridiculamente fáceis.
Não retiro uma vírgula ao que disse e escrevi. Mas é por isso que é penoso para mim escrever as linhas seguintes. Sinto imenso desconforto ao ter de escrever, agora, uma crítica àquilo que considero ser o inadequadamente difícil.
Em termos simples, passou-se do 8 para o 80. No espaço de um ano, o grau de exigência ultrapassou tudo o que era expectável.
Vem isto a propósito dos testes intermédios do ensino básico do presente ano lectivo e, em especial, daquele que hoje se realizou, o do 9º Ano de Matemática.
Aquela informação do Gabinete da Secretária de Estado do Ensino Básico e Secundário, de Fevereiro do presente ano, que alertava para o aumento da dificuldade nas provas elaboradas pelo GAVE, apesar de ridícula, clarificava a mudança de paradigma que, admita-se, era urgente.
No que respeita à Matemática, o teste intermédio de 8º Ano evidenciou essa mudança. Deixou de ter questões ridiculamente fáceis e era equilibrado, quer no que respeita ao grau de dificuldade, quer no que respeita à congruência com os objectivos exarados nos programas.
Curiosamente e para minha surpresa, não notei grandes alterações de estrutura e dificuldade nos testes intermédios de Matemática A do secundário até agora realizados, neste ano lectivo. A ver vamos o que acontecerá no exame nacional de 12º.
Chegou-me aos ouvidos que noutras disciplinas, no entanto, o grau de dificuldade teria aumentado bastante. Refiro, por exemplo a Físico-Química. Como não conheço as matérias, não posso opinar sobre o assunto.
Hoje, ao ver o teste intermédio de Matemática do 9º Ano, fiquei incomodado! O teste não era difícil, era muito difícil!
E porquê?
Por várias razões.
1ª) O teste foi realizado por alunos que durante todo o seu percurso escolar (não por culpa própria, mas por imposição do sistema educativo) conviveram com o facilitismo. Não se pode mudar abruptamente o grau de exigência. Será interessante comparar as médias que estes alunos terão neste teste com as que tiveram no teste intermédio de 8º Ano que realizaram no ano passado. Perceber-se-á então o quanto a alteração no grau de dificuldade foi abrupta.
2º) A tipologia da maioria das questões foi diferente daquela que esteve presente nos testes intermédios e nos exames dos anos anteriores. Quem se preparou com base nesses testes ou nos cadernos de exercícios que algumas editoras publicaram viu que apostou no cavalo errado. Alguns exercícios deste teste têm “um cheirinho” dos exercícios que o GAVE publicou em 2009/10 para o 10º Ano, “Séries de problemas de Matemática A – 10º Ano”, e que, apesar de interessantes e adequados a um país de alunos brilhantes a Matemática, se revelam desadequados ao que é o país real da aprendizagem da Matemática em Portugal.
3ª) Apesar de este Ministério ter abolido as competências, a grande maioria das questões do teste apelava à “predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar situações problemáticas” e à “predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a aptidão para desenvolver processos de resolução”, isto é, a competências. Ou seja, poucos eram os itens em que os conceitos ou os procedimentos matemáticos foram testados de uma forma directa. Em alguns exercícios até, os dados iniciais pareciam não estar lá, a sua descoberta era, em si mesma, um problema de raciocínio matemático. Noutros, os vários conteúdos estavam misturados no mesmo problema. Assim, a matéria que os alunos estudaram apareceu, em grande parte dos exercícios do teste, no âmbito da resolução de uma determinada situação ou problema. Ora, sabemos que a resolução de problemas é, talvez, o parâmetro onde os alunos revelam mais dificuldade e que, digamos assim, está num patamar superior em termos de aprendizagem. Ninguém pode discutir que a resolução de problemas é um dos aspectos importantes a testar num teste. O que não se admite é que a grande maioria das questões se baseie nesta competência.
4º) Há no teste questões verdadeiramente inesperadas para este nível de escolaridade:
  • Item 1.3. – Um problema de utilização da regra de Laplace em experiências compostas. Ao consultar os objectivos específicos dos programas de Matemática do Ensino Básico não encontro lá onde encaixar este problema. Tenho que consultar o programa de Matemática A do 12º Ano para o conseguir.
  • Item 4. – Talvez seja melhor começar a treinar os alunos na resolução de problemas das Olímpiadas de Matemática da SPM pois o problema proposto parece ter sido inspirado nesse tipo de questões.
  • Item 6. – Não se pode afirmar que as duas primeiras questões deste item estejam desadequadas ao programa. No entanto, elas são questões de Geometria Analítica, matéria que será tratada com profundidade nos 10º e 11º anos de escolaridade. Quem é professor de Matemática conhece bem as dificuldades dos alunos do secundário neste tema. Terá sido esta a melhor forma de testar conhecimentos da função afim neste nível de escolaridade?
  • Relativamente à terceira questão deste item 6, também ela uma questão de Geometria Analítica, voltei a procurar nos programas de Matemática do Ensino Básico se a resolução geométrica de sistemas estava lá. Voltei a não encontrar. Talvez tenha sido por isso que muitos alunos não tenham percebido que o objectivo era resolver (pelo método de substituição) o sistema formado pelas duas equações das rectas dadas no enunciado.
  • Itens 6 e 7 – Ambos exigem que o aluno tenha o seguinte conhecimento: o significado de ser ponto do gráfico de uma função (que a abcissa é o objecto e a ordenada a imagem desse objecto pela função). Concorda-se que este conhecimento deve ser testado num teste deste tipo. Agora fazê-lo quatro vezes (6.1.; 6.2., 7.1. e 7.2.), não só é uma repetição como invalida que quem o desconhece possa mostrar conhecimento nas outras vertentes destas questões.
Tal como anteriormente referi, foi com muito desconforto que acabei de escrever estas linhas. Mas fico revoltado quando a avaliação é incongruente com o processo de ensino/aprendizagem. Disse-o quando se promovia a incompetência e o laxismo. Digo-o quando não há equilíbrio na mudança.
Incomoda-me que a avaliação sumativa continue ao sabor das marés.